• Teorema di Bayes

    Il teorema di Bayes: due urne con palline sono riempite, rispettivamente, con due palline rosse e tre nere, e una pallina rossa e due nere. Le due urne contenenti, rispettivamente, due palline rosse e tre nere, e due palline blu e una rossa. Si tira una moneta: se esce testa, si estrae una pallina dalla prima urna, se esce croce, si estrae una pallina dalla seconda urna. E’ stata estratta una pallina rossa. Ci chiediamo: qual’è la probabilità che sia stata estratta dall’urna A? Un problema di questo tipo si risolve con il Teorema di Bayes, un importante teorema sulle probabilità che descrive non tanto la probabilità che si generi…

  • Ricerca della Retta Unita

    La ricerca della retta unita, nella geometria euclidea, consente di trovare eventuali rette che rimangono medesime a seguito di una trasformazione nel piano. Una trasformazione nel piano in sé è una corrispondenza biunivoca che associa ad un punto P un punto P’. Significa che tramite una formula spostiamo, associamo un punto di un piano un altro punto sullo stesso piano in modo che, ogni punto abbia il suo corrispondente Posso esistere nel piano, rette che hanno la stessa equazione sia prima che dopo la trasformazione, ovvero che non si sono spostano proprio. Vengono chiamate rette unite. La ricerca di eventuali rette unite unite si fa uguagliando l’equazione della retta con…

  • Ricerca del Punto Unito

    La ricerca del punto unito, nella geometria eucldea, consente di trovare quei punti che rimangono medesimi a seguito di una trasformazione nel piano. Una trasformazione nel piano in sé è una corrispondenza biunivoca che associa ad un punto P un punto P’. Significa che tramite una formula spostiamo, associamo un punto di un piano un altro punto sullo stesso piano in modo che, ogni punto abbia il suo corrispondente. Possono esistere nel piano, punti che hanno le stesse coordinate sia prima che dopo la trasformazione, ovvero non si sono spostano proprio. Vengono chiamati punti unti. La ricerca di eventuali punti uniti si fa ponendo \(\begin{cases} & x=x’ \\ & y=y’…

  • Equazioni Omogenee in seno e coseno

    Le equazioni omogenee in seno e coseno sono equazioni che presentano entrambe le funzioni trigonometriche e nessun termine noto. Non potendo applicare la sostituzione, si risolvono dividendo ogni termine per coseno. Definizione Un’equazione omogenea in seno e coseno si presenta nella forma $$a\sin(x)+b\cos(x)=0 \textit{ con a e b} \neq 0$$ Risoluzione Per risolvere quest’equazione possiamo dividere il membro di destra e quello di sinistra per cos(x): $$\frac{a\sin(x)+b\cos(x)}{\cos(x)}=\frac{0}{\cos(x)}$$ si noti che è sempre possibile dividere per cos(x) perché questo non è mai uguale a zero. Infatti se fosse cos(x)=0, sarebbe allora sin(x)=1 e l’equazione verrebbe \(a\cdot 1+0=0\rightarrow a=0\) che è assurdo per ipotesi. Distribuendo il denominatore abbiamo: $$a\frac{sin(x)}{\cos(x)}+b\frac{\cos(x)}{\cos(x)}=0$$ Da cui, semplificando,…

  • Equazioni Logaritmiche

    Definizione Le equazioni logaritmiche sono equazioni nelle quali l’incognita appare come parametro del logaritmo. Per esempio $$\log_{a}(x)-b=0$$ è un’equazione logaritmica. Notiamo fin da subito che se per qualche motivo il parametro del logaritmo fosse minore di zero, ovvero se fosse x0. Forma canonica delle equazioni logaritmiche La forma canonica è una forma convenzionale sotto la quale è utile portare i diversi tipi di equazioni. Una volta ricondotte alla forma canonica, le equazioni logaritmiche sono facilissime da risolvere. La forma canonica delle equazioni logaritmiche è la seguente: $$log_{a}(f(x))=log_{a}(g(x))$$ dalla quale segue che: $$f(x)=g(x)$$ Spiegazione La forma canonica ci informa che, per poter risolvere un’equazione logaritmica occorre: Avere un solo logaritmo a…

  • Funzione Esponenziale

    La funzione esponenziale è una funzione trascendente. Sono utilizzate in innumerevoli modelli matematici in biologia, chimica e fisica. Definizione La funzione esponenziale è una funzione trascendente nella forma $$f:x\rightarrow a^{x}$$ a è definita “base della funzione”. Se a è un numero positivo, allora la funzione esiste \(\forall x \in \mathbb{R}\) e il suo codominio è l’insieme dei numeri razionali positivi \(\mathbb{R^+}\). Grafico della funzione esponenziale per \(a > 1\) Disegniamo il grafico della funzione esponenziale utilizzando come base un numero a>1. Il grafico rappresenta y=2x. La tabella mostra alcuni valori della funzione sui quali è costruito il grafico. Come si può notare, la funzione esponenziale è crescente: al crescere della…

  • Disequazioni Fratte

    Definizione Una disequazione fratta è una disequazione che presenta almeno un&#8217 incognita al denominatore. Per esempio $$\frac{3x-6}{2-x} > 0 \textit{ e } \frac{1}{x+2} < 0$$ sono disequazioni fratte. Per la risoluzione Occorre porre le condizioni di esistenza: il denominatore infatti dev&#8217essere sempre diverso da zero. Quindi, dobbiamo porre 2-x ≠ 0 Adesso ci chiediamo la positività del numeratore e del denominatore. Una disequazione fratta infatti è positiva sia se numeratore e denominatore sono entrambi positivi, sia se sono entrambi negativi. Una disequazione fratta è negativa se il numeratore e il denominatore sono uno positivo e l&#8217altro negativo. Quindi ci chiediamo quando il numeratore è positivo ponendo 3x-3 > 0 x…

  • Equazioni di Secondo Grado

    Definizione Una equazione di secondo grado è un’equazione che presenta un’incognita elevata al quadrato, ovvero che ha come esponente 2. Ad esempio $$3x^{2}=4$$ Esistono quattro tipi di equazioni di secondo grado: Le pure Le equazioni di secondo grado pure: nella forma $$ax^{2} +b=0$$ presentano solo l’incognita al quadrato e un numero (il termine noto). Metodo di risoluzione: -le pure si risolvono portando il termine noto a destra e dividendo questo per a, -a questo punto si estrae la radice quadrata. -ATTENZIONE: Quando estraete la radice quadrata è importante considerare sia il risultato positivo che il risultato negativo "più o meno radice di…" Esempio 2x2-18=0 – 2x2=18 – x2=18/2=9 – x=…

  • La Divisione tra Polinomi

    Dati due polinomi D(x) e d(x) si definisce l’operazione di divisione per cui D(x) = d(x) • Q(x) + R(x). Vediamo insieme cosa significa. Definizione Dati due polinomi N(x) e d(x) si definisce l'operazione di divisione per cui $$N(x) = d(x) \cdot Q(x) + R(x)$$ che è del tutto analoga a quella già vista per i numeri naturali e per la quale $$\frac{7}{3} = 2 \textit{ resto 1}$$ poiché $$7 = ( 3 \cdot 2 ) + 1$$ Come dividere un polinomio per un altro Dati due polinomi N(x)= 8x – 9x2 + 6x3 e d(x)= 3x + 2x2 – 1, per effettuare la divisione è necessario: • Ordinare i…

  • L’equazione dell’Ellisse

    Questo paragrafo illustra le proprietà di una curva particolare, di forma generale chiamata ellisse. Definizione Si definisce ellisse il luogo geometrico dei punti dei quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi. Come potete vedere la figura la somma delle distanze del punto blu dai fuochi (3,5 cm + 1 cm = 4,5 cm) e quella del punto rosso (2,5 cm + 2 cm = 4,5 cm) sono uguali. Uno dei metodi per costruire un’ellisse -probabilmente questa informazione non vi importerà- è detto metodo del giardiniere, poiché è utilizzato dai giardinieri quando vogliono disegnare aiuole ellittiche sul terreno. Il metdo del giardiniere: una corda tesa…