• L’equazione Analitica della Circonferenza

    Questo paragrafo illustra le proprietà di una curva particolare, di forma generale x2+y2+ax+by+c=0 chiamata circonferenza. Definizione Si definisce circonferenza il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto O detto centro. La definizione, molto formale, in realtà afferma una cosa molto semplice: E’ chiamata circonferenza, quell’insieme di punti che sono tutti alla solita distanza da un altro punto chiamato O e detto “centro”. L’immagine mostra una circonferenza: tutti i punti distano 5,85 cm dal centro. Costruzione della circonferenza In figura è mostrato un ingrandimento della circonferenza precedente che ha centro nell’origine degli assi. Abbiamo già evidenziato anche il raggio. Dobbiamo definire un’equazione della circonferenza sulla base della definizione imposta. In…

  • Proprietà dei Determinanti

    I determinanti delle matrici quadrate godono di alcune proprietà, vediamole qui. Se tutti gli elementi di una riga o di una colonna sono nulli, il determinante è zero \(\begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 &2\\ \end{bmatrix} det(A)=0\) Il determinante della matrice unità è 1. Moltiplicando tutti gli elementi di una linea per uno scalare k, il determinante della matrice viene moltiplicato per k. \(\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 5 & 4 & 7\\ 1 & 1 &3\\ \end{bmatrix} det(A)=9\) \(\begin{bmatrix} k3 & k1 & k2 \\ 5 & 4 & 7\\ 1 & 1 &3\\ \end{bmatrix} det(A)=9k\) Se una…

  • Prodotto tra Matrici

    Vediamo in questa pagina come calcolare il prodotto tra due matrici m x n e n x p. Definizione Si definisce prodotto della matrice A(m x n) per la matrice B(n x p) la matrice P(m x p) il cui generico elemento p(i,j) si ottiene moltiplicando scalarmente la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B. In termini matematici $$P=A\bullet B=[p_{i,j}]=\sum_{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}$$ dove n è il numero di righe della seconda matrice. La definizione ci dice che date due matrici A e B, si può calcolarne il prodotto se e solo se il numero di righe della seconda è uguale al numero di colonne della prima. Se il numero…

  • Le progressioni Aritmetiche

    Tra tutte le successioni di numeri, ce ne sono alcune particolarmente interessanti. Vengono chiamate progressioni e si dividono in aritmetiche e geometriche e coinvolgono rispettivamente le operazioni di somma e di moltiplicazione. La loro importanza deriva da campi anche esterni alla matematica: infatti, sono utili per rappresentare diversi fenomeni fisici e biologici. Definizione Si dice progressione aritmetica una successione di numeri tali che la differenza tra ciascuno di essi e il precedente sia costante. Per indicare i termini di una progressione aritmetica si usa per ognuno una lettera con un indice \(a_{1}, a_{2} … a_{n}\) Per indicare che i termini sono in progressione, si utilizza il simbolo \(\div\) La differenza…

  • Integrali Fratti con Delta Minore di Zero

    Questo paragrafo spiega come calcolare l’integrale di una funzione fratta, che ha come denominatore un polinomio di secondo grado nel tipo ax2+bx+c.  Preparazione alla risoluzione Controlliamo che il grado del denominatore sia minore del grado del numeratore: se non fosse, una divisione tra polinomi risolverà il problema. Quindi, numeratore di primo grado, (o un numero), e denominatore di secondo grado con delta maggiore di zero. Vediamo come risolverli. Se al denominatore il delta è minore di zero, non esistono radici reali (x1 e x2) per cui il trinomio possa essere scomposto. Distinguiamo quindi due casi: Primo caso: Al numeratore c’è un numero $$\int \frac{5}{3x^2-3x+6}dx$$ Si cerca di costruire al denominatore…

  • Integrali Fratti con Delta Uguale a Zero

    Questo paragrafo spiega come calcolare l’integrale di una funzione fratta, che ha come denominatore un polinomio di secondo grado con il delta uguale a zero. Preparazione alla risoluzione Controlliamo che il grado del denominatore sia minore del grado del numeratore: se non fosse, una divisione tra polinomi risolverà il problema. Quindi, numeratore di primo grado, (o un numero), e denominatore di secondo grado con delta maggiore di zero. Vediamo come risolverli. Risoluzione Se il delta è uguale a zero, il denominatore è formato da un quadrato perfetto e può essere scomposto nella forma a(x-x1)2 La scomposizione della funzione avviene così $$\int \frac{px+q}{ax^2+bx+c}dx = \int \frac{A}{a(x-x_1)^2} + \frac{B}{a(x-x_1)}dx$$ Dove A e…

  • Integrali Fratti con Delta Maggiore di Zero

    Questo paragrafo spiega come calcolare l’integrale di una funzione fratta, che ha come denominatore un polinomio di secondo grado nel tipo ax2+bx+c.  Preparazione alla risoluzione Controlliamo che il grado del denominatore sia minore del grado del numeratore: se non fosse, una divisione tra polinomi risolverà il problema. Quindi, numeratore di primo grado, (o un numero), e denominatore di secondo grado con delta maggiore di zero. Vediamo come risolverli. Risoluzione $$\int \frac{4x+1}{x^{2}-x-6}dx$$ In questo esempio, il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore (non occorre quindi la divisione tra polinomi) e il delta del denominatore è positivo Esisteranno quindi due soluzioni, \(x_1\) e \(x_2\) per cui il denominatore \(ax^2+bx+c=0\)…

  • Integrali per Parti

    Quando non si riesce a risolvere un integrale, l’integrazione per parti può rivelarsi utile. Supponiamo di dover calcolare l'integrale del prodotto di due funzioni, ovvero $$\int f(x)g(x)dx$$ Se conosciamo: • La primitiva di una delle due funzioni • La derivata dell'altra funzione allora possiamo utilizzare l'integrazione per parti. $$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)$$ intendendo con F(x) la primitiva di \(f(x)\) e con g'(x) la derivata di \(g(x)\). Esempio Supponiamo di dover calcolare $$\int ln(x)dx$$ ovviamente non abbiamo la minima idea, poiché è un integrale non noto. La sua derivata però, è ben conosciuta: \(1/x\). Riscriviamo la funzione integranda, \(ln(x)\), come \(ln(x)*1\). Ovviamente, trattandosi di una moltiplicazione per 1, nulla è cambiato. Quindi…

  • Limite Notevole sin x su-x

    Dimostriamo che il limite per seno di x su x, con x che tende a zero, è uguale a uno. Tesi Introduciamo un limite notevole molto importante: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1 \textit{ con x in radianti}$$ La specificazione con x in radianti è molto importante, se x è in gradi, il limite non è verificato. Dimostrazione La funzione \(f(x)= \frac{\sin x}{x}\) è pari, infatti si ha che $$\frac{\sin (x)}{x} = \frac{ \sin (-x)}{-x}$$ infatti \(\frac{ \sin (-x)}{-x} = \frac{- \sin (x)}{-x} = \frac{\sin (x)}{x}\). Quindi, possiamo considerare le x (ovvero gli angoli) positivi: per i negativi, sarebbe la medesima cosa. In effetti noi ci proponiamo di studiare…

  • Le Discontinuità

    Dalla definizione di continuità, derivano le tre specie di discontinuità che andremo ad esaminare. La terza specie è anche detta “eliminabile”. Definizione di continuità di una funzione in un punto Si diche che una funzione \(f(x)\) è continua in un punto c se e soltanto se: $$\lim_{x \to c^-} f(x) = f(c) = \lim_{x \to c^+} f(x)$$ se il limite destro coincide con il limite sinistro e con la funzione in quel punto. La figura mostra una funzione continua nel punto x=3. Come vedete, da sinistra la funzione si avvicina a f(3), da destra anche, e il valore a cui si avvicina la funzione da sinistra a destra è proprio…