• Teorema del Valore Medio

    Il teorema del valore medio, o teorema della media integrale, afferma che l’area di un sottografico di una funzione continua è sempre equivalente a un dato rettangolo.  Introduzione Abbiamo introdotto l’integrale definito tra a e b di f(x) come la sommatoria dell’area degli infiniti rettangoli sotto il grafico della funzione, e l’abbiamo indicata con \(\int_{a}^{b} f(x)dx\). Il teorema che andremo a dimostrare afferma una proposizione importante: l’area ottenuta sommando tutti i rettangoli è uguale a quella di un particolare rettangolo, che ha per base l’intervallo [a,b] e per altezza un punto particolare della funzione. Tesi $$\textit{Se f(x) continua su }[a,b]\Rightarrow \exists \alpha \in [a,b] \textit{ tale che }\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\alpha)(b-a)$$ Il Teorema…

  • Teorema fondamentale del Calcolo Integrale

    Il teorema fondamentale del calcolo integrale afferma che la funzione integrale è derivabile e la sua derivata coincide con la funzione integranda. Tesi Se la funzione \(f(x)\) è continua in [a;b], la corrispondente funzione integrale F(x) è derivabile e \(\forall x \in [a;b]\) risulta $$F'(x)=f(x)$$ Spiegazione Abbiamo definito la funzione integrale come $$\int_{a}^{x}f(x)dx$$ ricordando come fosse la x dell’estremo superiore dellintegrale ad essere la variabile indipendente della funzione (tant’è che, per non creare confusione con i nomi delle variabili, avevamo scritto la forma equivalente, \(\int_{a}^{x}f(t)dt\). La funzione associa, ad ogni x, la somma delle aree degli infiniti rettangoli sotto f(t) e avevamo dedotto che, se \(f(t) \geq 0 \forall x…

  • Corollari al teorema di Lagrange

    Il teorema di Lagrange è il secondo teorema che generalmente si incontra nello studio delle derivate. Vediamo adesso i tre corollari – conseguenze logiche del teorema – molto utili nell’analisi.  Tesi data una funzione y=f(x) continua nell’intervallo chiuso [a ; b], e derivabile in tale intervallo, esclusi al più gli estremi, allora esiste almeno un punto c interno ad a e b la cui derivata è: $$y'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ Primo corollario Se una funzione è continua in un intervallo I, e la sua derivata è zero in tutti i punti interni di I, allora la funzione è costante in quell’intervallo. Dimostrazione Poiché la funzione è continua e derivabile, si può applicare Lagrange,…

  • Teorema di Lagrange

    Il teorema di Lagrange è il secondo teorema che generalmente si incontra nello studio delle derivate. Con i suoi tre corollari, è uno dei teoremi più importanti nello studio di funzioni. Teorema di Rolle $$\left.\begin{matrix} f:[a,b]\to \mathbb{R} \\ f(a)=f(b)\\ f(x) \textit{ continua [a,b]}\wedge \textit{ derivabile (a,b)}\\ \end{matrix}\right\}\exists c \in (a,b):f'(c)=0$$ Se una funzione è continua in un intervallo [a ; b] e derivabile in tale intervallo, esclusi al più gli estremi, e se assume valori uguali in a e b, f(a)=f(b), allora almeno un punto c interno ad a e b la cui derivata y’(c)=0. Teorema di Lagrange Tesi data una funzione y=f(x) continua nell’intervallo chiuso [a ; b] e…

  • Teorema di Rolle

    Il teorema di Rolle è generalmente il primo dei teoremi sulle derivate che si affrontano studiando analisi. E’ un importante teorema utilizzato per dimostrare poi il Teorema di Lagrange e il teorema di Cauchy. Tesi $$\left.\begin{matrix} f:[a,b]\to \mathbb{R} \\ f(a)=f(b)\\ f(x) continua[a,b]\wedge derivabile(a,b)]\\ \end{matrix}\right\}\exists c \in (a,b):f'(c)=0$$ Se una funzione è continua in un intervallo [a ; b] e derivabile in tale intervallo, esclusi al più gli estremi, e se assume valori uguali in a e b, ovvero

  • Teorema del Confronto

    Il teorema del confronto, detto anche dei teorema dei carabinieri è un teorema molto utile in analisi matematica, perché permette, conosciuti i limiti di due particolari funzioni, di calcolare il limite di una terza. Tesi \( \textit{Date tre funzioni, } f(x), g(x) \textit{ e } h(x), \textit{ tali che } g(x) \leq h(x) \leq f(x) \textit{ ed essendo, per } \lim_{x \to x_{0}}f(x)=\lim_{x \to x_{0}}g(x)\) \(\textit{ allora } \lim_{x \to x_{0}}h(x)=l\) Esempio In questo piano cartesiano sono rappresentate tre funzioni f(x), h(x), g(x). Come potete osservare si ha che g(x)<h(x)<f(x). Ora g(x) e f(x) hanno un limite in comune nel punto C. Il teorema del confronto afferma che anche h(x)…

  • Teorema di Permanenza del Segno

    Il teorema di di permanenza del segno è un teorema fondamentale sui limiti. Afferma che se esiste un limite finito di una funzione tendente ad un valore, allora esisterà un intorno della funzione che assume lo stesso segno del limite. Tesi $$\exists \lim_{x \to x_{0} }f(x)=l \wedge l\neq 0\Rightarrow \exists I_{x_{0}}\textit{per il quale } \forall x \in I_{x{0}} f(x) \textit{assume lo stesso segno di }l$$ Il teorema della permanenza del segno afferma che, se esiste il limite di una funzione e questo limite è diverso da zero, esiste un intorno della funzione dello stesso segno del limite. Esempio Mettiamo che la funzione f(x) per x tendente a 5 abbia come…

  • Teorema dell’unicità del Limite

    Il teorema di unicità del limite afferma che se esiste il limite di una funzione che tende ad un numero, questo numero è uno solo. In altre parole, preso un valore di x della funzione si può calcolare un solo limite per quella funzione in quel valore. Tesi Se \(\exists \lim_{x \to x_0}f(x)=l\) allora tale limite è unico. Esempio Mettiamo che la funzione \(f(x)\) per x tendente a 5 abbia come limite 10. Ecco. Dieci è l’unico limite di quella funzione quando la x tende a 5. Semplice no? \(y=\frac{x^2 – 25}{x – 5}\) Dimostrazione La dimostrazione si fa per assurdo. Si inizia assumendo che esistano due limiti \(l\) e…

  • Le Derivate – Spiegazione

    La derivata di una funzione è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione stessa in un punto. L’importanza delle derivate è enorme: dall’analisi all’algebra, derivare una funzione offre moltissime informazioni. Breve prefazione Quello che già sappiamo è che, nel piano cartesiano l’equazione generica di una retta (non perpendicolare all’asse \(x\) ) è $$y=mx+q$$ e sappiamo altresì che m è chiamato coefficiente angolare e dà informazioni sull’inclinazione della retta. Nell’esempio sono riportate due rette: • la retta t, in fucsia, di equazione y=5x-3 • la retta s in verde, di equazione y=\(\frac{1}{2}\)x +1 Il coefficiente angolare di una retta è, presi due punti qualsiasi, il rapporto tra la loro distanza…

  • Disequazioni di secondo grado

    Una disequazione di secondo grado è una disequazione nella quale l’incognita si trova elevata al quadrato. Forma base La forma base delle disequazioni di secondo grado è quella con uno zero a destra e tutte le incognite a sinistra. $$ax^{2}+bx+c>0$$ Sono quindi disequazioni di secondo grado ridotte alla forma base $$3x^{2}+2x+8>0$$ $$3x^{2}-90$$ Risoluzione Vediamo adesso i passaggi da seguire per risolvere una disequazione qualsiasi. \(x^{2}+2>-3x\) \(x^2+3x+2>0\) Scrivere la disequazione in forma base: uno zero a destra e tutte le incognite e i termini noti a sinistra \(y=x^2+3x+2>0\) Considerare la parabola associata \(x^2+3x+2=0\) Porre l&#8217equazione della parabola uguale a zero \(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) (\(x_{1,2}= \frac{-3 \pm \sqrt{9-8}}{2}\) \(x_{1}=-1 \textit{ }…