Quando una funzione tendente a infinito, ha come limite infinito, allora può darsi che i suoi valori si avvicinino sempre di più a quelli di una retta. Viene chiamata “asintoto obliquo” dal greco a-sym-ptōtos: “che mai si tocca”.
- Definizione Asintoto obliquo
- Esempio Asintoto obliquo
Esempio
Nel grafico raffigurato, la funzione
\(y=\frac{x^{2}+3x-1}{x+1}\) verso l’infinito, si avvicina sempre di più alla retta di equazione \(y=x+2\), ovvero la distanza PH tende a zero.
Si dice che la retta è asintoto obliquo della funzione.
Ricerca dell’asintoto obliquo
La ricerca dell’asintoto obliquo si fa esclusivamente quando la funzione, tendente a infnito, ha un limite infinito, ovvero se e soltanto se $$\lim_{x \to \infty }f(x)= \infty$$ In questo caso, potrebbero esserci infatti asintoti obliqui nella forma y=mx+q.
Il nostro scopo, adesso, è quello di cercare, se esistono, i valori di m e q.
La ricerca del coefficiente angolare m
Per calcolare il coefficiente angolare riprendiamo al relazione $$\lim_{x \to \infty }\frac{|f(x)-mx-q|}{\sqrt{1+m^{2}}}=0$$ Adesso, poiché $$\sqrt{1+m^{2}}$$ è un numero, può essere facilmente eliminato: il limite di una frazione, con denominatore \( \neq 0\), è zero infatti quando il numeratore è zero. Con questa premessa, possiamo togliere anche il valore assoluto, visto che non si tratta di una quantità negativa.
Possiamo riscrivere, senza perdere di generalità
$$\lim_{x \to \infty }f(x)-mx-q=0$$
Adesso, se è vera questa equazione, a maggior ragione è vera questa (infatti \(\frac{0}{\infty}=0\) )
$$\lim_{x \to \infty }\frac{f(x)-mx-q}{x}=0$$
Abbiamo quindi potuto dividere per x senza problemi, lasciando l’uguaglianza vera.
Adesso distribuiamo il denominatore
$$\lim_{x \to \infty}(\frac{f(x)}{x}-m-\frac{q}{x})=0$$
Da cui, essendo \(\lim_{x \to \infty}(m)=m\) e \(\lim_{x \to \infty}\frac{q}{x}=0\), si deduce che:
$$\lim_{x \to \infty}(\frac{f(x)}{x}-m)=0$$
Ovvero,
$$m= \lim_{x \to \infty}(\frac{f(x)}{x})=0$$
Calcolo di q
Per calcolare q utilizziamo la relazione ricavata in precedenza: $$\lim_{x \to \infty }f(x)-mx-q=0$$ Poiché $$\lim_{x \to \infty }q=q$$ ossiamo riscrivere la relazione come $$\lim_{x \to \infty }f(x)-mx=q$$ che è la formula che volevamo trovare.
Riepilogo
Se esistono finiti i limiti
$$m= \lim_{x \to \infty}(\frac{f(x)}{x})=0$$
$$q=\lim_{x \to \infty }f(x)-mx=q$$
e \(m \neq 0\) allora y=mx+q è asintoto obliquo della funzione f(x).