Definizione
Una equazione di secondo grado è un’equazione che presenta un’incognita elevata al quadrato, ovvero che ha come esponente 2.
Ad esempio
$$3x^{2}=4$$
Esistono quattro tipi di equazioni di secondo grado:
Le pure
Le equazioni di secondo grado pure: nella forma $$ax^{2} +b=0$$ presentano solo l’incognita al quadrato e un numero (il termine noto).
Metodo di risoluzione:
-le pure si risolvono portando il termine noto a destra e dividendo questo per a,-a questo punto si estrae la radice quadrata.
-ATTENZIONE: Quando estraete la radice quadrata è importante considerare sia il risultato positivo che il risultato negativo "più o meno radice di…"
Esempio
2x2-18=0
– 2x2=18
– x2=18/2=9
– x= ±√9= x=+3 e x=-3
Le spurie
Le equazioni di secondo grado spurie sono nella forma ax2+bx=0 : presentano sia l’incognita al quadrato sia l’incognita di primo grado moltiplicata per un coefficiente.
Metodo di risoluzione:
Le spurie si risolvono mettendo in evidenza una x e trasformandole in un prodotto tra la x e un’equazione di primo grado
-una soluzione è sempre zero, l’altra è -b/a.
-Ricordatevi che una soluzione è zero è l’altra è -b/a
Esempio
6x2-18x=0
– x(6x-18)=0
– \(x_{1}=0\) 6x-18=0
– \(x_{1}=0\) \(x=\frac{18}{6}=3}
Equazioni di secondo grado complete
Le equazioni di secondo grado complete si presentano nella forma ax2+bx+c=0: presentano sia l’incognita al quadrato sia l’incognita di primo grado moltiplicata per un coefficiente sia il termine noto (c)Metodo di risoluzione:
-le equazioni di secondo grado complete si risolvono con una formula cosiddetta
"formula risolutiva".
-Portiamo il termine noto a sinistra e moltiplichiamo per 4a
$$4a^{2}x^{2}+4bx=-4ac$$
-Adesso si nota che
$$4a^{2}x^{2}=(2ax)^{2} \textit{ e } 4abx = 2 \cdot (2ax) \cdot b$$
– Quindi, per far diventare un quadrato perfetto il primo membro, basta aggiungere b2. Quindi lo aggiungiamo ad entrambi i membri, per mantenere l’uguaglianza vera
$$(2ax)^{2} +2 \cdot (2ax) \cdot b +b^{2} = b^{2} -4ac$$
-Ora il primo membro è un quadrato perfetto e può essere scritto come
$$(2ax+b )^2 = b^2-4ac$$
-Quindi poiché la x adesso è solo al primo membro, si estrae la radice quadrata sia a destra che a sinistra
$$2ax+b = \pm \sqrt{b^2-4ac}$$
-Adesso ricaviamoci la x (portiamo b al termine di destra e dividiamo per 2a)
-La formula risolutiva è quindi
$$x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
–Ricorda che la formula risolutiva
- È valida sempre, anche per le pure e le spurie.
- Ammette, se la quantità sotto la radice è maggiore di zero, due soluzioni.
Esempio
$$x^2-3x+2=0$$ Applichiamo la formula risolutiva\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=x_{1,2} = \frac{-(-3)\pm \sqrt{3^{2}-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}=x_{1,2} = \frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2} = x_{1,2} = \frac{3\pm \sqrt{1}}{2} = \)
x1 = 2 e x2 = 1