Equazioni di Secondo Grado

Definizione

Una equazione di secondo grado è un’equazione che presenta un’incognita elevata al quadrato, ovvero che ha come esponente 2.
Ad esempio $$3x^{2}=4$$ Esistono quattro tipi di equazioni di secondo grado:

Le pure

Le equazioni di secondo grado pure: nella forma $$ax^{2} +b=0$$ presentano solo l’incognita al quadrato e un numero (il termine noto).

Metodo di risoluzione:

-le pure si risolvono portando il termine noto a destra e dividendo questo per a,
-a questo punto si estrae la radice quadrata.
-ATTENZIONE: Quando estraete la radice quadrata è importante considerare sia il risultato positivo che il risultato negativo "più o meno radice di…"

Esempio

2x²-18=0
– 2x²=18
– x²=18/2=9
– x= ±√9= x=+3 e x=-3

Le spurie

Le equazioni di secondo grado spurie sono nella forma ax²+bx=0 : presentano sia l’incognita al quadrato sia l’incognita di primo grado moltiplicata per un coefficiente.

Metodo di risoluzione:

Le spurie si risolvono mettendo in evidenza una x e trasformandole in un prodotto tra la x e un’equazione di primo grado
-una soluzione è sempre zero, l’altra è -b/a.
-Ricordatevi che una soluzione è zero è l’altra è -b/a

Esempio

6x²-18x=0
– x(6x-18)=0
– \(x_{1}=0\) 6x-18=0
– \(x_{1}=0\) \(x=\frac{18}{6}=3}

Equazioni di secondo grado complete

Le equazioni di secondo grado complete si presentano nella forma ax²+bx+c=0: presentano sia l’incognita al quadrato sia l’incognita di primo grado moltiplicata per un coefficiente sia il termine noto (c)

Metodo di risoluzione:

-le equazioni di secondo grado complete si risolvono con una formula cosiddetta "formula risolutiva".
-Portiamo il termine noto a sinistra e moltiplichiamo per 4a
$$4a^{2}x^{2}+4bx=-4ac$$ -Adesso si nota che
$$4a^{2}x^{2}=(2ax)^{2} \textit{ e } 4abx = 2 \cdot (2ax) \cdot b$$ – Quindi, per far diventare un quadrato perfetto il primo membro, basta aggiungere b². Quindi lo aggiungiamo ad entrambi i membri, per mantenere l’uguaglianza vera
$$(2ax)^{2} +2 \cdot (2ax) \cdot b +b^{2} = b^{2} -4ac$$ -Ora il primo membro è un quadrato perfetto e può essere scritto come
$$(2ax+b )^2 = b^2-4ac$$ -Quindi poiché la x adesso è solo al primo membro, si estrae la radice quadrata sia a destra che a sinistra
$$2ax+b = \pm \sqrt{b^2-4ac}$$ -Adesso ricaviamoci la x (portiamo b al termine di destra e dividiamo per 2a)
-La formula risolutiva è quindi
$$x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ –Ricorda che la formula risolutiva

1. È valida sempre, anche per le pure e le spurie.
2. Ammette, se la quantità sotto la radice è maggiore di zero, due soluzioni.

Esempio

$$x^2-3x+2=0$$ Applichiamo la formula risolutiva
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=x_{1,2} = \frac{-(-3)\pm \sqrt{3^{2}-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}=x_{1,2} = \frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2} = x_{1,2} = \frac{3\pm \sqrt{1}}{2} = \)

x₁ = 2 e x₂ = 1