Le equazioni omogenee in seno e coseno sono equazioni che presentano entrambe le funzioni trigonometriche e nessun termine noto. Non potendo applicare la sostituzione, si risolvono dividendo ogni termine per coseno.
Definizione
Un’equazione omogenea in seno e coseno si presenta nella forma $$a\sin(x)+b\cos(x)=0 \textit{ con a e b} \neq 0$$
Risoluzione
Per risolvere quest’equazione possiamo dividere il membro di destra e quello di sinistra per cos(x):
$$\frac{a\sin(x)+b\cos(x)}{\cos(x)}=\frac{0}{\cos(x)}$$
si noti che è sempre possibile dividere per cos(x) perché questo non è mai uguale a zero.
Infatti se fosse cos(x)=0, sarebbe allora sin(x)=1 e l’equazione verrebbe
\(a\cdot 1+0=0\rightarrow a=0\) che è assurdo per ipotesi.
Distribuendo il denominatore abbiamo:
$$a\frac{sin(x)}{\cos(x)}+b\frac{\cos(x)}{\cos(x)}=0$$
Da cui, semplificando,
$$a\tan(x)+b=0$$
che è un’equazione in una incognita e perciò risolvibile:
$$\tan(x)=-\frac{b}{a}$$
A questo punto abbiamo trovato che tan(x) è uguale a -b/a, per trovare x, che è quella che ci interessa calcoliamo la funzione inversa della tangente (sulla calcolatrice ha il simbolo tan-1)
$$x=\tan^{-1}(-\frac{b}{a})$$
Esempio
$$3\sin(x)-\sqrt3 \cos(x)=0$$
si divide per coseno:
$$3\tan(x)-\sqrt3 =0$$
si porta radice di tre a destra e si divide per 3:
$$\tan(x)=\frac{\sqrt3}{3}$$
Calcoliamo x come la funzione inversa della tangente:
$$x=\tan^{-1}(\frac{\sqrt3}{3})=30+k180$$
(nella soluzione è espresso il periodo, k180, poiché la tangente si ripete ogni 180 gradi).