La funzione esponenziale è una funzione trascendente. Sono utilizzate in innumerevoli modelli matematici in biologia, chimica e fisica.
Definizione
La funzione esponenziale è una funzione trascendente nella forma $$f:x\rightarrow a^{x}$$ a è definita base della funzione. Se a è un numero positivo, allora la funzione esiste \(\forall x \in \mathbb{R}\) e il suo codominio è linsieme dei numeri razionali positivi \(\mathbb{R^+}\).
Grafico della funzione esponenziale per \(a > 1\)
Disegniamo il grafico della funzione esponenziale utilizzando come base un numero a>1. Il grafico rappresenta y=2x. La tabella mostra alcuni valori della funzione sui quali è costruito il grafico.
Come si può notare, la funzione esponenziale è crescente: al crescere della x cresce anche la y, con un notevole picco nel quadrante dei numeri positivi. Non si ferma mai: allaumentare delle x anche la y tende and infinito.
Al contrario, andando verso sinistra, si nota che la funzione si schiaccia sempre di più, fino
ad arrivare allo zero. Non lo toccherà mai: si dice che y=0 è asintoto della funzione.
Grafico della funzione esponenziale per \(0
Disegniamo adesso il grafico della funzione esponenziale utilizzando come base un numero compreso tra 0 e 1, per esempio y=½x. La tabella mostra i valori della funzione per alcuni valori di x sui quali è costruito il grafico.
Questo caso è lopposto rispetto al precedente. La funzione esponenziale che ha per base un numero compreso tra zero e uno, infatti, è decrescente:
allaumentare della x diminuisce la y. Anche in questo caso y=0 (lasse delle x) è asintoto: la funzione si avvicina ma non lo tocca mai.
Ricordiamoci di questa distinzione perché sarà fondamentale quando si dovranno risolvere le disequazioni esponenziali.
Il grafico per a=1
E se a=1? Beh questo caso non presenta alcun interesse, perché il grafico si riduce alla retta y=1 e quindi -di norma- non è contemplato quando si parla di funzione esponenziale.
Ricorda
- Il grafico è sempre sopra lasse delle x.
- y=0 è un asintoto.
- Il dominio della funzione esponenziale quando a è positivo è, quindi linsieme dei numeri positivi, \(\mathbb{R^+}\)
- Se a>1, la funzione è crescente, se a