Gli integrali fratti con delta maggiore di zero - Spiegazione

Questo paragrafo spiega come calcolare l’integrale di una funzione fratta, che ha come denominatore un polinomio di secondo grado nel tipo ax2+bx+c.

Preparazione alla risoluzione

Controlliamo che il grado del denominatore sia minore del grado del numeratore: se non fosse, una divisione tra polinomi risolverà il problema.

Quindi, numeratore di primo grado, (o un numero), e denominatore di secondo grado con delta maggiore di zero. Vediamo come risolverli.

Risoluzione

4x+1x2x6dx" role="presentation">4x+1x2x6dx
In questo esempio, il grado del denominatore è maggiore del grado del numeratore (non occorre quindi la divisione tra polinomi) e il delta del denominatore è positivo

Esisteranno quindi due soluzioni, x1" role="presentation">x1 e x2" role="presentation">x2
per cui il denominatore ax2+bx+c=0" role="presentation">ax2+bx+c=0

La risoluzione avviene riscrivendo l’integrale in una forma diversa:

Aa(xx1)+B(xx2)dx" role="presentation">Aa(xx1)+B(xx2)dx
x1" role="presentation">x1 e x2" role="presentation">x2 sono i risultati dell’equazione di secondo grado, mentre A e B sono due opportuni coefficienti.

Calcolo di A e B

Ovviamente l’integrale che abbiamo riscritto dev’essere identico a quello dato, per cui, una volta calcolate le soluzioni dell’equazione di secondo grado possiamo scrivere che

A(x+2)+B(x3)=4x+1x2x6" role="presentation">A(x+2)+B(x3)=4x+1x2x6
Risolviamo il primo termine:
A(x3)+B(x+2)(x+2)(x3)=4x+1x2x6" role="presentation">A(x3)+B(x+2)(x+2)(x3)=4x+1x2x6
Ax3A+Bx+2Bx2x6=4x+1x2x6" role="presentation">Ax3A+Bx+2Bx2x6=4x+1x2x6
Adesso raccogliamo l’incognita x
(A+B)x3A+2Bx2x6=4x+1x2x6" role="presentation">(A+B)x3A+2Bx2x6=4x+1x2x6
Poiché i due termini sono uguali, dovrà essere che
{A+B=42B3A=6" role="presentation">{A+B=42B3A=6
Risolvendo, si trova a=25" role="presentation" style="position: relative;">a=25, b=185" role="presentation" style="position: relative;">b=185

Adesso, possiamo risolvere:

25(x+2)+185(x3)dx" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">25(x+2)+185(x3)dx
Ovvero
251(x+2)+1851(x3)dx" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">251(x+2)+1851(x3)dx
E, risolvendo
25ln(x+2)+185ln(x3)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">25ln(x+2)+185ln(x3)
Per cui

Gli integrali con il delta maggiore di zero si risolvono sempre nella forma
Aln(xx1)+Bln(xx2)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">Aln(xx1)+Bln(xx2)


Data di pubblicazione: 12 April 2023

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