Gli integrali fratti con delta minore di zero - Spiegazione
Questo paragrafo spiega come calcolare l’integrale di una funzione fratta, che ha come denominatore un polinomio di secondo grado nel tipo ax2+bx+c.
Preparazione alla risoluzione
Controlliamo che il grado del denominatore sia minore del grado del numeratore: se non fosse, una divisione tra polinomi risolverà il problema.
Quindi, numeratore di primo grado, (o un numero), e denominatore di secondo grado con delta maggiore di zero. Vediamo come risolverli.
Se al denominatore il delta è minore di zero, non esistono radici reali (x1 e x2) per cui il trinomio possa essere scomposto.
Distinguiamo quindi due casi:
Primo caso: Al numeratore c’è un numero
∫53x2−3x+6dx
Si cerca di costruire al denominatore un quadrato perfetto. Per farlo, è sempre opportuno raccogliere il denominatore e la a e portarla fuori dall’integrale, subito.
53∫1x2−x+2dx
Adesso, tentiamo di costruire il quadrato perfetto con il primo termine x2 e il secondo −x:
• il primo termine è 1
• il secondo è -1 ed è il doppio prodotto del primo termine per il terzo: −1=2⋅1⋅c
• Quindi c= 12 .
Notiamo che (x−12)2=x2−x+14, quindi, per mantenere l’equazione identica, dobbiamo togliere 14 53∫1x2−x+14−14+84dx
53∫1(x2−x+14)−14+84dx
53∫1(x−12)2+74dx
Un integrale del genere è un integrale noto:
∫1(x+k)2+m2)dx=1marctanx+km
Per cui, applicando la formula al nostro caso:
53∫1(x−12)2+74dx=53(1√72arctan(x−12√72))
Ovvero
103√7arctan2x−1√7+C
Secondo caso: Al numeratore c’è un polinomio
∫3x+62x2−3x+3dx
In questo caso si procede costruendo al numeratore la derivata del denominatore.
La derivata di 2x^2-3x+3 è 4x-3
Adesso, al numeratore abbiamo 3x+6
Ma se moltiplichiamo il numeratore per 43 e poi portiamo fuori un 34 abbiamo ottenuto 34∫4x+82x2−3x+3dx
Adesso "sistemiamo" il termine noto (8) sottraendo 11, e poi riaggiungendolo (non dobbiamo modificare niente!) ovvero:
34∫4x−3+112x2−3x+3dx
Dividiamo i due integrali
34(∫4x−32x2−3x+3dx+∫112x2−3x+3dx)
Adesso, il primo integrale è della forma ∫f′(x)f(x)=lnf(x),
quindi: 34(ln(2x2−3x+3)+∫112x2−3x+3dx)
Il secondo integrale è della forma ∫nf(x) che, abbiamo visto nel caso precedente, si risolve in:
∫112x2−3x+3dx=112∫1x2−32x+32
Adesso costruiamo il quadrato perfetto
• il primo termine è 1
• il secondo è −32 ed è il doppio prodotto del primo termine per il terzo: −32=2⋅1⋅c
Quindi c= −34 .
Notiamo che (x−34)2=x2−32x+916, quindi, per mantenere l’equazione identica, dobbiamo togliere 916 112∫1x2−32x+916−916+32
112∫1(x2−32x+916)−916+32
112∫1(x−34)2−1516
Che sappiamo già risolvere:
112⋅1√154arctanx−34√154
Quindi l’integrale completo:
∫3x+62x2−3x+3dx=34(ln(2x2−3x+3)+22√15arctan4x−3√15)
Per cui
Gli integrali con il delta minore di zero con un polinomio al denominatore si risolvono sempre nella forma Aln(ax2+bx+c)+Barctan(x+km)
Data di pubblicazione: 13 April 2023
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