Gli integrali fratti con delta uguale di zero - Spiegazione

Questo paragrafo spiega come calcolare l’integrale di una funzione fratta, che ha come denominatore un polinomio di secondo grado con il delta uguale a zero.

Preparazione alla risoluzione


Controlliamo che il grado del denominatore sia minore del grado del numeratore: se non fosse, una divisione tra polinomi risolverà il problema.

Quindi, numeratore di primo grado, (o un numero), e denominatore di secondo grado con delta maggiore di zero. Vediamo come risolverli.

Risoluzione

Se il delta è uguale a zero, il denominatore è formato da un quadrato perfetto e può essere scomposto nella forma a(x-x1)2

La scomposizione della funzione avviene così

px+qax2+bx+cdx=Aa(xx1)2+Ba(xx1)dx" role="presentation">px+qax2+bx+cdx=Aa(xx1)2+Ba(xx1)dx
Dove A e B sono due opportuni coefficienti da che devono essere calcolati.

Notate che una presenta un termine al quadrato e l’altra no.

Calcolo di A e B

4x14x24x+1dx" role="presentation">4x14x24x+1dx
Il delta, ovviamente è uguale a zero. Poniamo 4x24x+1=0" role="presentation">4x24x+1=0 x1=12" role="presentation">x1=12. La funzione può quindi essere scomposta nella forma
A4(x12)2+B4(x12)dx" role="presentation">A4(x12)2+B4(x12)dx
Adesso, sommiamo i due termini e otteniamo:
A+(x12)B4(x12)2dx" role="presentation">A+(x12)B4(x12)2dx
A+Bx12B4(x12)2dx" role="presentation">A+Bx12B4(x12)2dx
Adesso, per il principio di identità dei polinomi, le due funzioni sono uguali se sono uguali tutti i coefficienti dei monomi corrispondenti. Risolviamo quindi il sistema:
{B=4A12B=1" role="presentation">{B=4A12B=1
Risolvendo, si ottiene:
{A=1B=4" role="presentation">{A=1B=4
Quindi, possiamo riscrivere la nostra funzione integranda
14(x12)2+44(x12)dx" role="presentation">14(x12)2+44(x12)dx
Facciamo qualche calcolo
14(x12)2+1x12dx" role="presentation">14(x12)2+1x12dx
Il primo integrale è nella forma f(x)f(x)n" role="presentation">f(x)f(x)n, il secondo è banalmente un logaritmo:
14(x12)11+ln(x12)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">14(x12)11+ln(x12)
14x2+ln(x12)" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">14x2+ln(x12)

Data di pubblicazione: 12 April 2023

Indice delle lezioni

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