Tra tutte le successioni di numeri, ce ne sono alcune particolarmente interessanti. Vengono chiamate progressioni e si dividono in aritmetiche e geometriche e coinvolgono rispettivamente le operazioni di somma e di moltiplicazione. La loro importanza deriva da campi anche esterni alla matematica: infatti, sono utili per rappresentare diversi fenomeni fisici e biologici.
Definizione
Si dice progressione aritmetica una successione di numeri tali che la differenza tra ciascuno di essi e il precedente sia costante.
Per indicare i termini di una progressione aritmetica si usa per ognuno una lettera con un indice \(a_{1}, a_{2} … a_{n}\)
Per indicare che i termini sono in progressione, si utilizza il simbolo \(\div\)
La differenza costante si chiama ragione della progressione, e si indica con la lettera d
$$a_{n}-a_{n-1}=d$$
Quindi, se la ragione è positiva la progressione sarà crescente, come in questo caso di ragione 2:
$$\div 1,3,5,7,9,11,13,15…$$
Se la ragione è negativa la progressione sarà decrescente come in questo caso di ragione -3:
$$\div 5,2,-1,-4,-7,-10,-13,-16…$$
Termine generale dato \(a_{1}\)
In una progressione aritmetica di ragione d il valore di un generico termine \(a_{n}\) è dato dalla formula $$a_{n}=a_{1}(n-1)d$$
Esempio
Consideriamo la progressione aritmetica che inizia con \(a_{1}=5\) e di ragione 3: $$\div 5,8,11…$$ Per trovare il centesimo termine \(a_{100}\) si applica la formula $$a_{100}=5(100-1)=495$$
Dimostrazione della formula del termine generale
Una volta stabilito \(a_{1}\), per definizione abbiamo \(a_{2}=a_{1}+d\) \(a_{3}=a_{2}+d\) … \(a_{n}=a_{n-1}+d\)
Se sommiamo membro a membro le uguaglianze (notate che sono in totale n-1) abbiamo:
$$a_{2}+a_{3}+…+a_{n-1}+a_{n}=a_{1}+d+a_{2}+d+a_{3}+d+…+a_{n-1}+d$$
Abbiamo ovviamente tante d quante sono le uguaglianze (infatti abbiamo una d per ogni uguaglianza), ovvero (n-1)d.
Semplificando i termini che compaiono sia a destra che a sinistra, otteniamo:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$$
c.v.d.
Termine generale di una progressione aritmetica
Abbiamo visto che, se conosciamo \(a_{1}\) e la ragione \(d\) possiamo ricavare il termine generale \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\).
Osserviamo adesso che questa relazione utilizza quattro numeri: \(a_{n}, a_{1}, n, d\)
Se indichiamo con \(a_{r}\) e con \(a_{s}\) due termini generici della progressione, abbiamo quindi:
$$a_{r}=a_{1}+(r-1)d$$
$$a_{s}=a_{1}+(s-1)d$$
Sottraendo membro a membro, si ottiene ancora una relazione vera, quindi:
$$a_{r}-a_{s}=a_{1}+(r-1)d-a_{1}-(s-1)d$$
$$a_{r}-a_{s}=rd-d-sd+d$$
$$a_{r}-a_{s}=(r-s)d$$
Dalla quale riordinando si ottiene la formula generale per il termine generale di una progressione aritmetica dati due termini della progressione qualsiasi e la ragione:
$$a_{r}=a_{s}+(r-s)d$$
Esempio
Sapendo che \(a_{9}=22\) e la ragione \(d=11\), calcolare \(a_{100}\) $$a_{100}=a_{9}+(100-9)d$$ $$a_{100}=22+91 \cdot 11 = 1023$$
Somma dei termini nelle progressioni finite
Nelle progressioni aritmetiche finite, vale un’importante proprietà, di cui forse non vi siete accorti:
La somma dei termini equidistanti dagli estremi è costante
Riprendiamo i primi 10 termini della progressione che abbiamo considerato prima
$$\div 1,3,5,7,9,11,13,15$$
e verifichiamo questa proprietà:
$$1+15=16$$
$$2+13=16$$
$$5+11=16$$
$$7+9=16$$
…
Un’altra interessante proprietà è la seguente:
La somma dei termini è uguale al prodotto della semisomma degli estremi per il numero dei termini
Ovvero, in formule
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n$$
Dimostrazione
Consideriamo la progressione
$$ \div a_{1}, a{2}, … a_{n}$$
Indichiamo con \(S_{n}\) la somma degli n termini, ovvero \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+…a_{n-1}+a_{n}\)
Per la proprietà commutativa possiamo scrivere \(S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+…+a_{2}+a_{1}\)
Sommiamo membro a membro e otteniamo
$$2S_{n}=a_{1}+a_{n}+a_{2}+a_{n-1}+..+a_{n-1}+a_{2}+a_{n}+a_{1}$$
Raggruppando un po’:
$$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+..+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$$
Adesso, le espressioni dentro le parentesi, per il teorema che abbiamo dimostrato prima sono tutte uguali: infatti sono o la somma degli estremi ( (\a_{1}+a_{n}1\) ) o la somma di termini equidistanti dagli estremi ( \(a_{2}+a_{n-1}\) ) : sono perciò tutti costanti e il loro valore è \(a_{1}+a_{n}\)
Quindi possiamo riscrivere tutta l’espressione con
$$2S_{n}=(a_{1}+a_{n}) \cdot n$$
Da cui
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n$$