Vediamo in questa pagina come calcolare il prodotto tra due matrici m x n e n x p.
Definizione
Si definisce prodotto della matrice A(m x n) per la matrice B(n x p) la matrice P(m x p) il cui generico elemento p(i,j) si ottiene moltiplicando scalarmente la i-esima riga di A per la j-esima colonna di B.
In termini matematici
$$P=A\bullet B=[p_{i,j}]=\sum_{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}$$ dove n è il numero di righe della seconda matrice.
La definizione ci dice che date due matrici A e B, si può calcolarne il prodotto se e solo se
il numero di righe della seconda è uguale al numero di colonne della prima.
Se il numero di righe della seconda è uguale al numero di colonne della prima si dice che le matrici sono conformabili rispetto alla moltiplicazione.
Per calcolare la matrice prodotto si segue la formula: in particolare
• Per l’elemento nella riga 1 colonna 1: si moltiplica l’elemento nella riga 1 colonna 1 della matrice A per l’elemento nella riga 1 colonna 1 della matrice B e si somma al prodotto tra l’elemento della riga 1 colonna 2 della matrice A e l’elemento della riga 2 colonna 1 della matrice B.
• Per l’elemento nella riga 1 colonna 2: si moltiplica l’elemento nella riga 1 colonna 1 della matrice A per l’elemento della riga 1 colonna 2 della matrice B e si somma al prodotto tra l’elemento della riga 1 colonna 2 della matrice A e l’elemento della riga 2 colonna 2 della matrice B.
• etc…
Per ricordare
Quando volete calcolare l’elemento di una matrice prodotto considerate la riga e la colonna di questo elemento.
Per esempio vogliamo calcolare l’elemento i(3,7) ovvero l’elemento che si trova sulla terza riga e settima colonna.
Per farlo, prendiamo ciascun elemento che si trova sulla terza riga di A e lo moltiplichiamo per il suo corrispettivo sulla settima colonna di B
sommando i risultati ottenuti. Il risultato sarà l’elemento i(3,7) della matrice prodotto.
In generale, si moltiplicano sempre i valori della riga di A e della colonna di B (il primo con il primo, il secondo con il secondo, …) corrispondenti alla riga e alla colonna dell’elemento della matrice C.
Un esempio
Ricorda
Il prodotto tra matrici NON gode della proprietà commutativa!