Ricerca della Retta Unita

La ricerca della retta unita, nella geometria euclidea, consente di trovare eventuali rette che rimangono medesime a seguito di una trasformazione nel piano.

Una trasformazione nel piano in sé è una corrispondenza biunivoca che associa ad un punto P un punto P’.

Significa che tramite una formula spostiamo, associamo un punto di un piano un altro punto sullo stesso piano in modo che, ogni punto abbia il suo corrispondente

Posso esistere nel piano, rette che hanno la stessa equazione sia prima che dopo la trasformazione, ovvero che non si sono spostano proprio. Vengono chiamate rette unite.

La ricerca di eventuali rette unite unite si fa uguagliando l’equazione della retta con l’equazione della trasformata.

Per esempio, data la trasformazione

\(t\begin{cases} & x’=x-y \\ & y’=2y \end{cases}\)

Si considera una retta generica: $$y=mx+q$$ e la trasformiamo secondo t:

$$2y=m(x-y)+q$$ La portiamo nella solita forma della (1) $$2y+my=mx+q$$ $$(2+m)y=mx+q$$ $$y=\frac{m}{2+m}x+\frac{q}{2+m}$$

E, adesso, poiché la retta dev’essere la stessa (si tratta di una retta che non si è minimamente spostata), si eguagliano i coefficienti della x e di q di questa retta trasformata con quella originaria:

\(\begin{cases} & \frac{m}{2+m}= m\\ & q = \frac{q}{2+m} \end{cases}\)

Risolvendo il sistema abbiamo: $$\begin{cases} & m^{2}+m= 0\\ & q = 0 \end{cases}=\begin{cases} & m=-1\vee m=0\\ & q = 0 \end{cases}$$

Per cui le uniche due rette unite, in questa trasformazione, sono: $$y=-x$$ $$y=0$$