Teorema del Confronto - Mathematikoi

Il teorema del confronto, detto anche dei teorema dei carabinieri è un teorema molto utile in analisi matematica, perché permette, conosciuti i limiti di due particolari funzioni, di calcolare il limite di una terza.

Tesi

$ \textit{Date tre funzioni, } f(x), g(x) \textit{ e } h(x), \textit{ tali che } g(x) \leq h(x) \leq f(x) \textit{ ed essendo, per } \lim_{x \to x_{0}}f(x)=\lim_{x \to x_{0}}g(x)$
$\textit{ allora } \lim_{x \to x_{0}}h(x)=l$

Esempio

Dimostrazione del teorema dei carabinieri o del confronto
In questo piano cartesiano sono rappresentate tre funzioni f(x), h(x), g(x).

Come potete osservare si ha che g(x)<h(x)<f(x).
Ora g(x) e f(x) hanno un limite in comune nel punto C.
Il teorema del confronto afferma che anche h(x) ha il medesimo limite nel punto C.

Dimostrazione

La dimostrazione avviene ponendo i limiti delle due funzioni esterne, f(x) e g(x), uguale ad un limite $l$ e calcolando il relativo intorno. Poi si intersecano i due intorni ottenuti e si riprende la relazione iniziale tra le tre funzioni. Si nota che la funzione centrale è compresa tra le medesime estremità delle altre due funzioni, quindi ha il medesimo limite.

Supponiamo $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=l\wedge \lim_{x \to x_{0}}g(x)=l$
Quindi, per la definizione di limite, si avranno due intorni di $x_0$

$\exists I_{x0}$ tale che $\forall x\in I_{x0} \left | f(x)-l \right | \(\exists I’_{x0}$ tale che \(\forall x\in I’_{x0} \left | f(x)-l \right |
Adesso si consideri l’intorno $I” = I\bigcap I’$
Essendo in I’’ i valori che soddisfano entrambi i limiti, deve valere che $$l-\varepsilon
E quindi, per la 1. $$l-\varepsilon
Riguardiamo bene:

$l- \varepsilon \(f(x) \leq $$h(x)$ $\leq g(x) $ \(
Quindi:
$$\lim_{x \to x_0}h(x)=l$$ c.v.d.