Il teorema del confronto, detto anche dei teorema dei carabinieri è un teorema molto utile in analisi matematica, perché permette, conosciuti i limiti di due particolari funzioni, di calcolare il limite di una terza.
Tesi
\( \textit{Date tre funzioni, } f(x), g(x) \textit{ e } h(x), \textit{ tali che } g(x) \leq h(x) \leq f(x) \textit{ ed essendo, per } \lim_{x \to x_{0}}f(x)=\lim_{x \to x_{0}}g(x)\)
\(\textit{ allora } \lim_{x \to x_{0}}h(x)=l\)
Esempio
La dimostrazione avviene ponendo i limiti delle due funzioni esterne, f(x) e g(x), uguale ad un limite \(l\) e calcolando il relativo intorno.
Poi si intersecano i due intorni ottenuti e si riprende la relazione iniziale tra le tre funzioni.
Si nota che la funzione centrale è compresa tra le medesime estremità delle altre due funzioni, quindi ha il medesimo limite.
In questo piano cartesiano sono rappresentate tre funzioni f(x), h(x), g(x).
Come potete osservare si ha che g(x)<h(x)<f(x).
Ora g(x) e f(x) hanno un limite in comune nel punto C.
Il teorema del confronto afferma che anche h(x) ha il Dimostrazione
\(\exists I_{x0}\) tale che \(\forall x\in I_{x0} \left | f(x)-l \right |
\(\exists I’_{x0}\) tale che \(\forall x\in I’_{x0} \left | f(x)-l \right |
\(l- \varepsilon \(f(x) \leq \)\(h(x)\) \(\leq g(x) \) \(
$$\lim_{x \to x_0}h(x)=l$$
c.v.d.