Il teorema di Lagrange è il secondo teorema che generalmente si incontra nello studio delle derivate. Con i suoi tre corollari, è uno dei teoremi più importanti nello studio di funzioni.
Teorema di Rolle
$$\left.\begin{matrix}
f:[a,b]\to \mathbb{R} \\
f(a)=f(b)\\
f(x) \textit{ continua [a,b]}\wedge \textit{ derivabile (a,b)}\\
\end{matrix}\right\}\exists c \in (a,b):f'(c)=0$$
Se una funzione è continua in un intervallo [a ; b] e derivabile in tale intervallo, esclusi al più gli estremi, e se assume valori uguali in a e b, f(a)=f(b),
allora almeno un punto c interno ad a e b la cui derivata y’(c)=0.
Teorema di Lagrange
Tesi
data una funzione y=f(x) continua nell’intervallo chiuso [a ; b] e derivabile in tale intervallo, esclusi al più gli estremi, allora esiste almeno un punto c interno ad a e b la cui derivata è: $$y'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Rappresentazione grafica
Il teorema di Lagrange: esiste un punto c nel quale la derivata (che è il coefficiente angolare della retta tangente) è uguale a f(b)-f(a)/(b-a) che rappresenta il coefficiente angolare della retta secante i due estremi.
Dimostrazione
Consideriamo la funzione
$$h(x)=f(x)-Kx$$
Per le ipotesi del teorema la funzione è continua in [a ; b] e derivabile, poiché somma di funzioni continue e derivabili.
Determiniamo K in modo che h(a)= h(b)
f(a)-Ka = f(b)-Kb
–Ka+Kb = f(b)-f(a)
K(-a+b) = f(b)-f(a)
$$K=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
La funzione risulta quindi
$$h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$$
Utilizzando questo valore di K possiamo applicare il teorema di Rolle ad h(x), affermando che esiste un punto c per il quale y’(c)=0. (Riguarda il Teorema di Rolle!)
Per le regole sul calcolo della derivata, h’(x) risulta (K è una costante e la derivata di Kx è K
$$h'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Adesso si sostituisce ad x il punto c, per il quale la derivata è zero:
$$0=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Dalla quale, spostando f’(c) a sinistra e moltiplicando entrambi i termini per -1:
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
che è quello che volevamo dimostrare.