Il teorema di Lagrange è il secondo teorema che generalmente si incontra nello studio delle derivate. Vediamo adesso i tre corollari – conseguenze logiche del teorema – molto utili nell’analisi.
Tesi
data una funzione y=f(x) continua nell’intervallo chiuso [a ; b], e derivabile in tale intervallo, esclusi al più gli estremi, allora esiste almeno un punto c interno ad a e b la cui derivata è: $$y'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
Primo corollario
Se una funzione è continua in un intervallo I, e la sua derivata è zero in tutti i punti interni di I, allora la funzione è costante in quell’intervallo.
Dimostrazione
Poiché la funzione è continua e derivabile, si può applicare Lagrange, affermando che, presi due punti \(x_{1}\) ed \(x_{2}\) interni all’intervallo,
$$y’(c)=\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}$$
e poiché la derivata della funzione è nulla ovunque, è nulla anche in c:
$$0=\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}$$
ovvero
$$f(x_{1})=f(x_{2})$$
E, poiché \(x_{1}\) e \(x_{2}\) sono punti generici di I, f(x) assume il solito valore per tutti i punti di quellintervallo.
c.v.d.
Secondo corollario
Se due funzioni, f(x) e g(x) continue in un intervallo I, hanno derivate uguali in tutti i punti interni di I, esse differiscono per una costante.
Dimostrazione
Consideriamo la funzione ausiliaria H(x) = f(x) – g(x).
Si ha che
$$H'(x)=f'(x)-g'(x)$$
E, per ipotesi /(f’)/ e /(h’/) sono uguali per ogni x, quindi
$$F'(x)=0$$
E, per il corollario precedente, F è costante per ogni x, quindi
$$f(x)-g(x)=K$$
c.v.d.
Terzo corollario
Data una funzione continua e derivabile nei punti interni di un intervallo I, se la derivata della funzione è sempre positiva la funzione è crescente nellintervallo. Se la derivata è sempre negativa la funzione è decrescente in I.
Siano \(x_{1}\) e \(x_{2}\) due punti qualsiasi di I
Poiché y(c) e \(x_{2} > x_{1}\) cioè \(x_{2}-x_{1} >0\) , devessere \(f(x_{2}) – f(x_{1})
Dimostrazione
e sia
$$x_{2} > x_{1}$$
Per il teorema di Lagrange si può scrivere che
$$y'(c)=\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}$$
Supponiamo che la derivata sia sempre positiva e quindi anche f(c) >0
Poiché y(c)>0 e \(x_{2} > x_{1}\) cioè \(x_{2}-x_{1} >0\) , devessere anche \(f(x_{2}) – f(x_{1}) > 0\), ovvero
$$f(x_{2}) > f(x_{1})$$
ovvero la funzione è crescente.
c.v.d.Supponiamo che la derivata sia sempre positiva e quindi anche f(c)