Definizione
Una disequazione fratta è una disequazione che presenta almeno un’ incognita al denominatore. Per esempio
$$\frac{3x-6}{2-x} > 0 \textit{ e } \frac{1}{x+2} Per la risoluzione
- Occorre porre le condizioni di esistenza: il denominatore infatti dev’essere sempre diverso da zero.
Quindi, dobbiamo porre 2-x ≠ 0 - Adesso ci chiediamo la positività del numeratore e del denominatore.
Una disequazione fratta infatti è positiva sia se numeratore e denominatore sono entrambi positivi, sia se sono entrambi negativi.
Una disequazione fratta è negativa se il numeratore e il denominatore sono uno positivo e l’altro
negativo. - Quindi ci chiediamo quando il numeratore è positivo ponendo
3x-3 > 0
x > 1 - Quindi ci chiediamo quando il denominatore è positivo ponendo
2-x > 0
x
Quindi, il numeratore è positivo per le x maggiori di 1 e il denominatore per le x minori di due.
La regola ci dice di guardare quando sono entrambi positivi o entrambi negativi.
Per fare ciò "uniamo" i due schemi:
Questo schema mostra i segni del numeratore e del denominatore:
vediamo che sono entrambi positivi (e quindi la disequazione fratta è maggiore di zero) solo quando le x sono comprese tra 1 e 2 (due escluso). In tutti gli altri casi il risultato della disequazione è negativo.
Poiché noi cercavamo le soluzioni maggiori di zero, ovvero positive,
$$\frac{3x-6}{2-x} > 0$$ diciamo che il risultato è "ogni x compresa tra uno e due, due escluso" .
In termini matematici $$1\leq x
Esempio:
x+2 ≠ 0 , x ≠ -2
Test di positività del numeratore:
1>0 [sempre verificato: il numeratore è sempre positivo]

Adesso, poiché la disequazione fratta dev’essere negativa
$$\frac{1}{x+2}
La soluzione è quindi $$x