Quando non si riesce a risolvere un integrale, l’integrazione per parti può rivelarsi utile.
La primitiva di una delle due funzioni
La derivata dell'altra funzione
allora possiamo utilizzare l'integrazione per parti. $$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)$$ intendendo con F(x) la primitiva di \(f(x)\) e con g'(x) la derivata di \(g(x)\).
Esempio
Supponiamo di dover calcolare
$$\int ln(x)dx$$
ovviamente non abbiamo la minima idea, poiché è un integrale non noto. La sua derivata però, è ben conosciuta: \(1/x\).
Riscriviamo la funzione integranda, \(ln(x)\), come \(ln(x)*1\). Ovviamente, trattandosi di una moltiplicazione per 1, nulla è cambiato.
Quindi
$$\int ln(x)\cdot 1dx$$
Adesso, riprendiamo la formula dell’integrale per parti:
$$\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g'(x)$$
Conosciamo la derivata di ln(x), ovvero \(1/x\)
e la primitiva di 1, ovvero \(x\)
$$\int 1 \cdot ln(x)dx = x \cdot ln(x)-\int x \cdot \frac{1}{x}$$
considerando f(x)=1 e g(x)=ln(x).
Risolvendo si ottiene $$x \cdot ln(x)-\int x \cdot \frac{1}{x}=x \cdot ln(x)-\int 1 dx$$ Ovvero $$x \cdot ln(x)-x$$ che è l’integrale di ln(x), calcolato mediante l’integrazione per parti.
Dimostrazione della formula dell’integrazione per parti
La dimostrazione si ottiene a partire dalla formula di derivazione del prodotto.
Si consideri il prodotto di due funzioni, che supponiamo ovviamente derivabili,
$$y=f(x)g(x)$$
Per la formula di derivazione del prodotto,
$$y’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
Ovvero, sostituendo ad y = f(x)g(x)
$$(f(x)g(x))’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
E, calcolando l’integrale dei due membri,
$$\int f(x)g(x)’ dx= \int f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$
Ora, poiché l’integrale della derivata di f(x)g(x) è proprio… f(x)g(x), e a destra l’integrale può essere spezzato:
$$ f(x)g(x)= \int f'(x)g(x)+ \int f(x)g'(x)$$
Riordinando abbiamo
$$\int f'(x)g(x)dx =f(x)g(x) – \int f(x)g'(x)dx$$
Questo dimostra già la formula di integrazione. Per usare una notazione più facile, sostituiamo f(x) al posto di f’(x) e F(x) al posto di f(x) [notate che la relazione primitiva/derivata è rimasta la medesima, abbiamo soltanto cambiato nome!]
E quindi:
$$\int f(x)g(x) dx =F(x)g(x) – \int F(x)g'(x)dx$$