Le progressioni aritmetiche - Spiegazione

Definizione

Si dice progressione aritmetica una successione di numeri tali che la differenza tra ciascuno di essi e il precedente sia costante.

Per indicare i termini di una progressione aritmetica si usa per ognuno una lettera con un indice $a_{1}, a_{2} ... a_{n}$
Per indicare che i termini sono in progressione, si utilizza il simbolo $\div$
La differenza costante si chiama ragione della progressione, e si indica con la lettera d

$$a_{n}-a_{n-1}=d$$ Quindi, se la ragione è positiva la progressione sarà crescente, come in questo caso di ragione 2: $$\div 1,3,5,7,9,11,13,15...$$ Se la ragione è negativa la progressione sarà decrescente come in questo caso di ragione -3: $$\div 5,2,-1,-4,-7,-10,-13,-16...$$

Termine generale dato $a_{1}$

In una progressione aritmetica di ragione d il valore di un generico termine $a_{n}$ è dato dalla formula

$$a_{n}=a_{1}(n-1)d$$

Esempio

Consideriamo la progressione aritmetica che inizia con $a_{1}=5$ e di ragione 3:

$$\div 5,8,11...$$ Per trovare il centesimo termine $a_{100}$ si applica la formula $$a_{100}=5(100-1)=495$$

Dimostrazione della formula del termine generale

Una volta stabilito $a_{1}$, per definizione abbiamo $a_{2}=a_{1}+d$ $a_{3}=a_{2}+d$ ... $a_{n}=a_{n-1}+d$

Se sommiamo membro a membro le uguaglianze (notate che sono in totale n-1) abbiamo:

$$a_{2}+a_{3}+...+a_{n-1}+a_{n}=a_{1}+d+a_{2}+d+a_{3}+d+...+a_{n-1}+d$$ Abbiamo ovviamente tante d quante sono le uguaglianze (infatti abbiamo una d per ogni uguaglianza), ovvero (n-1)d.
Semplificando i termini che compaiono sia a destra che a sinistra, otteniamo: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$$ c.v.d.

Termine generale di una progressione aritmetica

Abbiamo visto che, se conosciamo $a_{1}$ e la ragione $d$ possiamo ricavare il termine generale $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$.
Osserviamo adesso che questa relazione utilizza quattro numeri: $a_{n}, a_{1}, n, d$
Se indichiamo con $a_{r}$ e con $a_{s}$ due termini generici della progressione, abbiamo quindi:

$$a_{r}=a_{1}+(r-1)d$$ $$a_{s}=a_{1}+(s-1)d$$ Sottraendo membro a membro, si ottiene ancora una relazione vera, quindi: $$a_{r}-a_{s}=a_{1}+(r-1)d-a_{1}-(s-1)d$$ $$a_{r}-a_{s}=rd-d-sd+d$$ $$a_{r}-a_{s}=(r-s)d$$ Dalla quale riordinando si ottiene la formula generale per il termine generale di una progressione aritmetica dati due termini della progressione qualsiasi e la ragione: $$a_{r}=a_{s}+(r-s)d$$

Esempio

Sapendo che $a_{9}=22$ e la ragione $d=11$, calcolare $a_{100}$

$$a_{100}=a_{9}+(100-9)d$$ $$a_{100}=22+91 \cdot 11 = 1023$$

Somma dei termini nelle progressioni finite

Nelle progressioni aritmetiche finite, vale un’importante proprietà, di cui forse non vi siete accorti:

La somma dei termini equidistanti dagli estremi è costante
Riprendiamo i primi 10 termini della progressione che abbiamo considerato prima

$$\div 1,3,5,7,9,11,13,15$$ e verifichiamo questa proprietà: $$1+15=16$$ $$2+13=16$$ $$5+11=16$$ $$7+9=16$$ ...

Un’altra interessante proprietà è la seguente: La somma dei termini è uguale al prodotto della semisomma degli estremi per il numero dei termini

Ovvero, in formule $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n$$

Dimostrazione

Consideriamo la progressione

$$\div a_{1}, a{2}, ... a_{n}$$ Indichiamo con $S_{n}$ la somma degli n termini, ovvero $S_{n}=a_{1}+a_{2}+...a_{n-1}+a_{n}$

Per la proprietà commutativa possiamo scrivere $S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+...+a_{2}+a_{1}$

Sommiamo membro a membro e otteniamo $$2S_{n}=a_{1}+a_{n}+a_{2}+a_{n-1}+..+a_{n-1}+a_{2}+a_{n}+a_{1}$$ Raggruppando un po’: $$2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+..+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})$$ Adesso, le espressioni dentro le parentesi, per il teorema che abbiamo dimostrato prima sono tutte uguali: infatti sono o la somma degli estremi ( (\a_{1}+a_{n}1\) ) o la somma di termini equidistanti dagli estremi ( $a_{2}+a_{n-1}$ ) : sono perciò tutti costanti e il loro valore è $a_{1}+a_{n}$

Quindi possiamo riscrivere tutta l’espressione con $$2S_{n}=(a_{1}+a_{n}) \cdot n$$ Da cui $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2} \cdot n$$