Limite notevole - sin x

Dimostriamo che il limite per seno di x su x, con x che tende a zero, è uguale a uno.

Tesi

Introduciamo un limite notevole molto importante:

limx0sin(x)x=1 con x in radianti" role="presentation">limx0sin(x)x=1 con x in radianti
La specificazione con x in radianti è molto importante, se x è in gradi, il limite non è verificato.

Dimostrazione

La funzione f(x)=sinxx" role="presentation">f(x)=sinxx è pari, infatti si ha che

sin(x)x=sin(x)x" role="presentation">sin(x)x=sin(x)x
infatti sin(x)x=sin(x)x=sin(x)x" role="presentation">sin(x)x=sin(x)x=sin(x)x.
Quindi, possiamo considerare le x (ovvero gli angoli) positivi: per i negativi, sarebbe la medesima cosa.

In effetti noi ci proponiamo di studiare la funzione quando l'angolo tende a zero, quindi per angoli molto piccoli, che stanno sicuramente nel primo quadrante.

Limite notevole seno sin di x su x

La figura mostra una circonferenza goniometrica (di raggio 1) con un angolo x misurato in radianti.

Misurare un angolo in radianti, significa misurare la lunghezza dell'arco di circonferenza goniometrica individuato dall'angolo.

Per definizione, la misura di x in radianti ci dice esattamente la misura della lunghezza dell'arco AB^" role="presentation">AB^.
Osservando la figura, si definisce il segmento AB come la tangente di x.

Osservando la figura si deduce che è

CB<AB^<AD" role="presentation">CB<AB^<AD
Ma CB è il seno di x, e abbiamo detto che la misura dell'arco è uguale all'angolo espresso in radianti. Quindi:
sinx<x<tanx" role="presentation">sinx<x<tanx
Dividiamo per sinx" role="presentation">sinx che, per quanto abbiamo detto, è positivo (l'angolo è molto piccolo e si trova nel primo quadrante!)
1<xsinx<1cosx" role="presentation">1<xsinx<1cosx
Adesso, consideriamo i reciproci
1>sinxx>cosx" role="presentation">1>sinxx>cosx
Riordinando...
cosx<sinxx<1" role="presentation">cosx<sinxx<1
Adesso, per il Teorema del Confronto, possiamo scrivere:
limx0cosxlimx0sinxxlimx01" role="presentation">limx0cosxlimx0sinxxlimx01
limx1cosx=" role="presentation">limx1cosx= poiché cos0=1" role="presentation">cos0=1;
limx01=1" role="presentation">limx01=1 poiché y=1 è costante, e la funzione non dipende da x.

Quindi,
1limx0sinxx1" role="presentation">1limx0sinxx1
Ovvero
limx1sinxx=1" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">limx1sinxx=1


c.v.d.

Data di pubblicazione: 12 April 2023

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