Derivata di una funzione: spiegazione

Breve prefazione

Quello che già sappiamo è che, nel piano cartesiano l'equazione generica di una retta (non perpendicolare all'asse $x$ ) è

$$y=mx+q$$ e sappiamo altresì che m è chiamato coefficiente angolare e dà informazioni sull'inclinazione della retta.

Nell'esempio sono riportate due rette:

• la retta t, in fucsia, di equazione y=5x-3
• la retta s in verde, di equazione y=$\frac{1}{2}$x +1

Il coefficiente angolare di una retta è, presi due punti qualsiasi, il rapporto tra la loro distanza lungo l'asse y e la loro distanza lungo l'asse x. In formule

$$m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
Se guardiamo bene, la retta t in fucsia della figura 1 è molto più inclinata di quella in verde e infatti, parità di spostamento sull'asse delle x (tra i punti x=1 e x=3) la retta t si sposta di ben 10 unità sull'asse y mentre la retta s solamente di 1. (Maggiore è lo spostamento su y, maggiore è il numeratore e quindi più grande è m). $$m_t=\frac{12-2}{3-1}=\frac{10}{2}=5 \textit{ } m_s=\frac{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{3-1}=\frac{1}{2}$$

Quello che già sappiamo è che esistono le funzioni e che alcune di queste sono continue.
Considerando una funzione continua come quella di figura 2, rappresentata in blu scuro,

$$y=\frac{1}{9}x^2+1$$ possiamo chiederci quale sia il coefficiente angolare di una retta r passante per due punti arbitrari della nostra funzione, per esempio per i punti x=3 e x=6.

Il calcolo non è sicuramente difficile: lo spostamento sulle x è $6-3=3$ e quello sulle y è $f(6)-f(3)=5-2=3$ per cui, applicando la formula $$m_r=\frac{3}{3}=1$$ In figura la retta r è rappresentata in rosso e ha coefficiente angolare 1.

il coefficiente angolare è, tra l'altro, il valore della tangente dell'angolo tra la retta e l'asse delle x. Poiché, nel nostro caso, il coefficiente è uguale ad uno, la retta r interseca l'asse dell x con un angolo di 45 gradi (tg 45 = 1)

Fino a qui niente di nuovo.

Introduzione alle derivate: coefficiente angolare della retta tangente

Nell'esempio precedente ci siamo preoccupati di calcolare il coefficiente angolare di una retta secante (nota dello scrittore: in due punti) una funzione.

Adesso è giunto il momento di definire la derivata!

La derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente (nota dello scrittore: in un punto) la funzione in quel punto.



Nell'esempio qua sopra, la derivata della funzione nel punto x=3 è il coefficiente angolare della retta in giallo, che è appunto la tangente alla funzione in x=3 o, il che è lo stesso, il valore della tangente dell'angolo Beta evidenziato in rosso.

Calcolo della derivata

Riprendiamo l'esempio precedente e immaginiamo di "spostare" la retta r in modo da ridurre la distanza dei due punti presi in considerazione (teniamo fisso il punto 3 e avviciniamo l'altro): ricordiamoci che, per avere una tangente dobbiamo avere un solo punto di intersezione.



La retta in giallo interseca la funzione in un punto già più vicino a 3 rispetto a quanto facesse la retta r in rosso e quella in fucsia è ancora più brava (le frecce indicano il punto di intersezione della retta con la funzione). Notate che tutte comunque intersecano in x=3 e in un altro punto

Considerando $x_0=3$ e $x_1=x_0+h$ dove h è un numero a piacere, che diventa via via sempre più piccolo (è 2,1 nel caso della retta gialla, 4,8 nel caso della retta rosa...) allora per la definizione di coefficiente angolare sarà $$m_r=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$$ $$m_r=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ (ricordiamoci la definizione: "lo spostamento lungo l'asse y diviso lo spostamento lungo l'asse x")

A questo punto è intuitivo il ragionamento:

poiché la retta deve essere tangente, allora lo spostamento h dovrà tendere a zero.

Questo è esattamente uno dei modi per calcolare la derivata che, lo introduciamo adesso, si identifica con il simbolo $f'(x_0)$:

$$f'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac {f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ Nel caso quindi della nostra parabola, si tratta di risolvere il seguente limite: $$f'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{9}(x_0+h)^2+1 -(\frac{1}{9}(x_0)^2+1))}{h}$$ E, svolgendo i calcoli $$f'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{9}(x^{2}_0+h^2+2hx_0-x^{2}_0+1-1))}{h}$$ E quindi, semplificando $+ x^{2}_0$ con $- x^{2}_0$ e anche $+1$ con $-1$ e dividendo tutto per $h$, $$f'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac{1}{9}(h+2x_0)$$ Com'è noto, questo limite è $$f'(x_0)=\frac{1}{9}(2x_0)$$ Poiché ci chiedevamo il valore per $x_0=3$, $f'(3)=\frac{1}{9}(2 \cdot 3) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.

Detto in altre parole $\frac{2}{3}$ è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in x=3.

Detto in altre parole $\frac{2}{3}$ è il valore della tangente dell'angolo che la retta forma con l'asse x.

Se vi piace di più, $\frac{2}{3}$ è il valore della derivata della funzione in x=3

Abbiamo trovato quindi una nuova funzione che associa ad ogni punto della nostra funzione di partenza (in questo caso la parabola) il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in quel punto.

Chiamiamo questa nuova funzione -e scopriremo che è straordinaria- funzione derivata.

Possiamo quindi scrivere, generalizzando

$$f'(x)=\frac{2}{9}x$$

Ogni volta che abbiamo bisogno di calcolare la derivata di una funzione, possiamo sempre utilizzare la definizione con il limite.

Come vedremo in un'altra lezione, alcune funzioni comuni hanno una derivata che è nota e quindi basterà ricordarsi la formula di derivazione.