Dimostrazione del Teorema di unicità del limite - Analisi Matematica

Il teorema di unicità del limite afferma che se esiste il limite di una funzione che tende ad un numero, questo numero è uno solo. In altre parole, preso un valore di x della funzione si può calcolare un solo limite per quella funzione in quel valore.

Tesi

Se limxx0f(x)=l allora tale limite è unico.

Esempio

Mettiamo che la funzione f(x) per x tendente a 5 abbia come limite 10. Ecco.
Dieci è l’unico limite di quella funzione quando la x tende a 5. Semplice no?



y=x225x5

Dimostrazione

La dimostrazione si fa per assurdo. Si inizia assumendo che esistano due limiti l e l ovviamente diversi tra loro e che risolvano entrambi la definizione di limite di una funzione nel medesimo punto.

Con lo svolgere dei calcoli si arriva ad una conclusione assurda: epsilon, che avevamo imposto minore della differenza tra l e l (in valore assoluto, per evitare valori negativi) è, alla fine dei calcoli, maggiore!

  1. Per assurdo si supponga che esista l e l con l≠̸l
    E si scelga ε< |ll|

  2. Quindi, per la definizione di limite, si avranno due intorni di x0

    Ix0 tale che xIx0|f(x)l|<ε
    Ix0 tale che xIx0|f(x)l|<ε

  3. Ora, poiché le condizioni espresse nella 2. devono valere per ogni epsilon maggiore di zero, e questo epsilon dev’essere piccolo a piacere, possiamo considerare un valore di epsilon ancora più piccolo: ε2

    Ix0 tale che xIx0|f(x)l|< ε2
    Ix0 tale che xIx0|f(x)l|< ε2

  4. Adesso si consideri l’intorno I=II
    deve valere che xIx0|f(x)l|< ε2|f(x)l|< ε2

  5. Adesso riscriviamo |ll| come |lf(x)+f(x)l|

  6. Quindi |ll|=|lf(x)+f(x)l|

    Ricordiamo il teorema del valore assoluto: |a+b|≤|a|+|b| e applichiamolo

  7. |ll|=|(lf(x))+(f(x)l)||lf(x)|+|f(x)l|

  8. Ma la 2. afferma che |f(x)l|< ε2 e anche |f(x)l|< ε2, è quindi lecito scrivere |ll|=|(lf(x))+(f(x)l)||lf(x)|+|f(x)l|ε2+ε2
  9. Ovvero, sommando epsilon mezzi e epsilon mezzi: |ll|=|(lf(x))+(f(x)l)||lf(x)|+|f(x)l|ε
  10. Riguardiamo meglio:

    |ll|= |(lf(x))+(f(x)l)||lf(x)|+|f(x)l| ε

    Ma ciò è assurdo perché avevamo imposto, al punto 1. che ε< |ll|

    c.v.d.

Domande:

  1. Perché hai usato epsilon mezzi?

    - La definizione di limite impone di usare un epsilon qualsiasi purché sia maggiore di zero e piccolo a piacere. Usando ε2 troviamo l’assurdità della 10. Notate che avremmo potuto prendere qualsiasi valore di epsilon più piccolo di ε2.

  2. Perché al passaggio 5 hai aggiunto e poi tolto una funzione?

    - Aggiungere e poi togliere qualcosa la medesima quantità lascia completamente invariato quanto scritto prima. Fai un esempio: 5=3+2, ma anche 5=3 +9-9 +2.
  3. Perché al punto 8 hai scritto due volte ε2 ?

    - Perché stavamo sommando due cose (due valori assoluti) che avevamo detto essere minori di altre. Se dico che 3<7 e che 5<7, allora 3+5<7+7, giusto?

Data di pubblicazione: 07 April 2023

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